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Resonanz - Wikipedia

08/01/2014 04:13

Resonanz (von lat. resonare „widerhallen“) ist in Physik und Technik das verstärkte Mitschwingen eines schwingungsfähigen Systems. Bei periodischer Anregung muss die Anregungsfrequenz in der Nähe einer Resonanzfrequenz des Systems liegen. Ist das System nicht zu stark gedämpft, kann es dabei um ein Vielfaches stärker ausschlagen (Resonanzüberhöhung) als in dem Fall, dass dieselbe Anregung nicht periodisch, sondern mit konstanter Stärke einwirken würde. Das Phänomen kann bei allen schwingfähigen physikalischen und technischen Systemen auftreten und kommt auch im Alltag häufig vor, z. B:

  • beim "Anschwung geben" an einer Kinderschaukel
  • beim Überschwappen des Kaffees in der Tasse oder der Suppe im Teller, wenn man mit ihnen ein paar Schritte geht,
  • bei der Abstimmung eines Radios auf einen bestimmten Sender
  • beim plötzlichen Rütteln oder Wackeln der Waschmaschine, wenn am Anfang oder Ende des Schleudergangs die Drehzahl einen ungünstigen Wert durchläuft und die feuchte Wäsche eine große Unwucht verursacht.
  • beim hörbaren Rütteln des Kompressors am Kühlschrank
  • bei bestimmten Drehzahlen des Motors, wenn er startet oder ausläuft.

Resonanzen werden in der Technik oft ausgenutzt oder gerade absichtlich vermieden.

Die im Resonanzfall anwachsenden Ausschläge entstehen dadurch, dass das System bei jeder Schwingung erneut Energie aufnimmt und speichert. Damit das System nicht durch zu große Ausschläge zerstört wird (Resonanzkatastrophe), muss seine Dämpfung erhöht, seine Eigenfrequenz oder die Anregungsfrequenz verändert, oder die Stärke der Anregung verringert werden. Das anfängliche Anwachsen der Ausschläge wird dann dadurch begrenzt, dass die zugeführte Energie zunehmend von der Dämpfung (z. B. Reibung) aufgezehrt wird, oder dadurch, dass bei zu großem Unterschied zwischen Resonanz- und Anregungsfrequenz sich der Energiefluss immer wieder umkehrt, weil Anregung und schwingendes System „aus dem Takt“ geraten. Als Folge stellt sich im Laufe der Zeit der Zustand der eingeschwungenen Schwingung her, bei dem die Amplitude konstant bleibt und die Schwingungsfrequenz mit der Anregungsfrequenz übereinstimmt. Die weiterhin in jeder Schwingung zugeführte Energie wird dann vollständig von der Dämpfung aufgezehrt. Nach Abschalten der Anregung kommt das System in Form einer gedämpften Schwingung mit seiner Eigenfrequenz allmählich zur Ruhe.

Galileis Untersuchungen an Schwingungen und Resonanzen von Pendeln und Saiten (1602) standen am Beginn der neuzeitlichen Naturwissenschaft.[1][2] In der modernen Quantenphysik hat der Begriff der Resonanz eine Ausweitung erfahren, indem er auch auf Änderungen des energetischen Anregungszustands eines Systems angewendet wird. Grundlage ist hier die Quantenbedingung E = h f, die jedem Energiebetrag E vermittels der Planckschen Konstante h die Frequenz f einer Schwingung zuschreibt.

Beispiele für das Auftreten von Resonanz

Beispiele aus dem Alltag wurden oben schon genannt.

Mechanik

Zungenfrequenzmesser (Ablesung: f ≈ 49,9 Hz)
  • Bei einem Zungenfrequenzmesser wird derjenige von vielen Biegeschwingern, der mit der Erregerfrequenz in Resonanz ist, zu besonders großer Schwingungsamplitude angeregt.
  • Kommt eine Brücke in Resonanz mit der Schrittfrequenz von marschierenden Fußgängermassen, kann sich die Konstruktion gefährlich aufschaukeln, Beispiel Millennium Bridge (London)
  • Fahrzeugkarosserien neigen bei bestimmten Motordrehzahlen zu starken Vibrationen (Dröhnen)
  • Im Innenohr gibt es etwa 100 Haarzellen mit unterschiedlichen Resonanzfrequenzen, welche die Zerlegung von Klängen oder von menschlicher Sprache in einzelne Tonfrequenzen erleichtern.
  • Bahnresonanz kann bei Planeten dafür sorgen, dass ein Himmelskörper auf Kollisionskurs mit einem anderen gerät. An Lagrange-Punkten kann diese Resonanz aber stabilisierend wirken, denn der Sonnenbeobachtungssatellit SOHO bleibt seit 1995 immer in der Nähe des inneren Lagrange-Punktes L1 .

Hydromechanik

Akustik

Betrag der akustischen Flussimpedanz eines luftgefüllten kurzen, dünnen Rohres als Funktion der Frequenz. Einheit der vertikalen Skala ist Pa·s/m³
  • die Tonerzeugung bei Musikinstrumenten (Streich- und Blasinstrumenten), siehe z. B. Holzblasinstrument
  • das Mitschwingen einer nicht gespielten Saite, wenn ein gleichgestimmtes Instrument ertönt
  • In geschlossenen Räumen kann es bei bestimmten Frequenzen zu störender Raumresonanz kommen.
  • Ein Resonanzauspuff ermöglicht bei 2-Takt-Motoren bei einer ganz bestimmten Drehzahl eine gewisse Leistungssteigerung.

Akustische Resonanz spielt beispielsweise bei fast allen Musikinstrumenten eine Rolle, oft durch Bildung einer stehenden Welle.

Misst man am Ende eines beiderseits offenen, zylindrischen Rohres mit geeigneten Mikrophonen Schalldruck und Schallschnelle, kann man bei Kenntnis des Rohrquerschnitts die akustische Flussimpedanz berechnen[3]. Diese zeigt Mehrfachresonanzen, wie man sie auch bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen entlang Drähten als Sonderfall λ/2 kennt. Das Messergebnis im Bild zeigt mehrere scharfe Minima der Flussimpedanz bei Vielfachen der Frequenz 500 Hz. Eine Überprüfung mit der Rohrlänge von 325 mm und der Schallgeschwindigkeit in Luft ergibt den Sollwert 528 Hz.

Weil der Messwert des tiefsten Minimums mit etwa 40000 Pa·s/m³ von der Schallkennimpedanz der umgebenden Luft (413,5 Pa·s/m³) erheblich abweicht, liegt eine Fehlanpassung vor und die schwingende Luftsäule im Rohr ist nur leise hörbar. Dieser geringe Energieverlust drückt sich in einem hohen Gütefaktor des Resonators aus.

Elektrotechnik

Ohne Resonanz gäbe es keine Funktechnik mit den bekannten Teilgebieten Fernsehen, Mobiltelefon, Radar, Funkfernsteuerung und Radioastronomie, weil es ohne die Möglichkeit, Sendefrequenzen voneinander zu trennen, weltweit nur wenige vereinzelte Sender mit ausreichenden Abständen geben könnte. Im überwiegenden Teil aller Oszillatorschaltungen und elektrischen Filter werden Schwingkreise verwendet, denen die Thomsonsche Schwingungsgleichung

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}

zu Grunde liegt. Der Wirkungsgrad von Antennen und Tesla-Transformatoren wird durch Resonanz drastisch gesteigert.

Die Sicherheit im Eisenbahnnetz wird durch die induktive Zugbeeinflussung verbessert. Dabei tritt ein am Fahrzeug angebrachter Schwingkreis in resonante Wechselwirkung mit einem am Gleis angebrachten Schwingkreis, dessen Frequenz je nach Stellung des nächsten Bahnsignals verschieden ist; bei Signalstellung "Halt" wird eine Zwangsbremsung ausgelöst.

Die großen Teilchenbeschleuniger der Elementarteilchenphysik beruhen auf Resonanzeffekten, ebenso die Kernspinresonanzspektroskopie in der Chemie und die Magnetresonanztomographie in der Medizin.

RFIDs, umgangssprachlich auch Funketiketten genannt, ermöglicht die automatische Identifizierung und Lokalisierung von Gegenständen und Lebewesen. Dabei wird die Betriebsenergie durch Resonanz auf das RFID übertragen und dieses sendet seine Information auf gleichem Weg zurück.

Ein Absorptionsfrequenzmesser wirkt bei Resonanz wie ein selektives Voltmeter.

Ein Magnetron erzeugt nur dann Schwingungen, wenn die Umlaufgeschwindigkeit mit der Eigenfrequenz der Hohlraumresonatoren übereinstimmt.

Atom- und Molekülphysik

Schematische Darstellung eines Zweizustandssystems, das mit elektromagnetischer Strahlung wechselwirkt.
Termschema des Wasserstoffatoms: Die durch Pfeile angedeuteten Übergänge können mit zu ihrer Energiedifferenz resonantem Licht angeregt werden
Empfindlichkeit der Zapfen des menschlichen Auges. S:Blau, M:Grün, L:Rot, Z: Gesamt

In der Atom- und Molekülphysik spricht man von Resonanz, wenn ein Photon der Energie E_\gamma=h\cdot\nu (h: Planck'sches Wirkungsquantum, ν: Frequenz des Lichtes) in der Hülle des Atoms absorbiert wird. Dies ist nur möglich, wenn E_\gamma gerade gleich der Energiedifferenz \Delta E_{\mathrm{GA}}=E_{\mathrm{A}}-E_{\mathrm{G}} zwischen zwei Zuständen G und A der Elektronenhülle ist. Ein Elektron wird dann vom Zustand G in den Zustand A angehoben. Die Anregungswahrscheinlichkeit p_{\mathrm{GA}}(E_\gamma) eines solchen Überganges wird ebenfalls durch eine Lorentzkurve (wie oben) beschrieben:

p_{\mathrm{GA}}(E_\gamma)\propto\frac 1 {\left| (1+(E_\gamma / \Delta E_{\mathrm{GA}})^2)\right|}

Der Vorgang heißt Resonanzabsorption. Er erklärt beispielsweise die Fraunhoferlinien im Spektrum des Sonnenlichts.

Meist fällt nun das Elektron aus dem angeregten Zustand zurück in den Grundzustand, wobei wieder ein Photon der Energie E_\gamma=E_{\mathrm{GA}} ausgesandt wird. Dies geschieht entweder spontan (spontane Emission, Fluoreszenz, Phosphoreszenz) oder durch Stoß eines zweiten eingestrahlten Photons der gleichen Energie (stimulierte Emission, ausgenutzt beim Laser).

Aus dem Grundzustand kann das Atom nun wieder angeregt werden. Es kann also eine Besetzungszahloszillation zwischen den Zuständen G und A ausführen, die als Rabi-Oszillation bezeichnet wird. Die Oszillation tritt, wie erwähnt, nur dann auf, wenn die eingestrahlten Photonen in Resonanz mit den Energieniveaus eines Atoms sind. Solche Resonanzen können z. B. zur Identifizierung von Gasen in der Spektroskopie verwendet werden, da sie das Vermessen der atom- oder molekültypischen Energieniveaus erlauben.

Im menschlichen Auge gibt es drei verschiedene Arten von Zapfen (Farbrezeptoren). Die darin enthaltenen Opsin-Moleküle unterscheiden sich durch ihre spektrale Empfindlichkeit und setzen bei Resonanz mit Photonen geeigneter Wellenlänge intrazelluläre Signalkaskaden in Gang (s. Fototransduktion). Es werden elektrische Signale gebildet, die über die Ganglienzellen an das Gehirn weitergegeben werden. Dort entsteht aus den übermittelten Signalen ein Farbeindruck (s. Farbwahrnehmung).

Weitere Resonanzphänomene treten bei der Kopplung des magnetischen Moments eines Atoms, Atomkerns, Moleküls oder Elektrons (Spin) an ein Magnetfeld auf, zum Beispiel Elektronenspinresonanz und Kernspinresonanz. Dabei regt ein mit passender Frequenz oszillierendes Magnetfeld das Umklappen des Spins zwischen zwei diskreten Zuständen verschiedener Energie an. Auch dieser Effekt kann entsprechend den Rabi-Oszillationen beschrieben werden und wird z. B. in der Medizintechnik und zu Materialuntersuchungen eingesetzt (siehe z. B. Magnetresonanztomographie).

Kernphysik

Resonanz bedeutet in der Kernphysik, dass bei einem Stoßvorgang mit bestimmter kinetischer Energie die beiden Partner sich zu einem kurzzeitig gebundenen System in einem von dessen möglichen Energiezuständen vereinigen, dem Compoundkern. Der Wirkungsquerschnitt zeigt bei dieser Stoßenergie ein Maximum von der Form einer Breit-Wigner-Kurve, die der für Resonanzen typischen Lorentzkurve gleicht. So ein System kann nicht stabil sein, sondern zerfällt nach kurzer Zeit wieder, z. B. in die beiden Teilchen, aus denen es gebildet wurde. Doch lässt sich aus der Halbwertsbreite der Kurve entnehmen, dass es wesentlich länger existiert hat als einer Reaktion der Teilchen im Vorbeiflug entsprechen würde.

Alle größeren Kerne zeigen die Riesenresonanz, einen angeregten Zustand, bei dem die Protonen gemeinsam gegenüber den Neutronen schwingen.

Durch Ausnutzung des Mößbauereffekts ermöglicht die Resonanzabsorption von Gammaquanten den Vergleich von Anregungsenergien mit mehr als 12-stelliger Genauigkeit. Der angeregte Kernzustand entspricht hier einem Resonator mit dem extrem hohen Gütefaktor Q=10^{12}.

Teilchenphysik

Ähnlich wie bei der Compoundkernbildung kann aus zwei Stoßpartnern ein instabiles, aber vergleichsweise langlebiges gebundenes System oder sogar ein einziges, andersartiges Teilchen entstehen, wenn die Stoßenergie im Schwerpunktsystem gerade dazu ausreicht. Die Anregungsfunktion des Stoßprozesses, also sein Wirkungsquerschnitt aufgetragen als Funktion der Energie, zeigt dann bei dieser Energie ein Maximum mit der für eine Resonanz typischen Kurvenform. So gebildete Systeme werden häufig als Resonanz oder Resonanzteilchen bezeichnet. Aus der Halbwertsbreite der Kurve (siehe Zerfallsbreite) kann die – für eine direkte Messung zu kurze – Lebensdauer des entstandenen Teilchens bestimmt werden.

Resonanz am harmonischen Oszillator

Am harmonischen Oszillator, zum Beispiel einem mechanischen Masse-Feder-Dämpfer-System wie nebenstehend abgebildet, lassen sich die mit der Resonanz verbundenen Phänomene am einfachsten studieren.

Masse-, Feder-, Dämpfer-System

Das System wird durch eine periodische Kraft, die auf die Masse wirkt, angeregt. Es kommt je nach Anfangsbedingungen zu unterschiedlichen Einschwingvorgängen. War das Schwingungssystem vorher in Ruhe, wächst die Amplitude zunächst an und kann, wenn die Erregerfrequenz in der Nähe seiner Eigenfrequenz liegt, größere Werte erreichen als bei konstantem Einwirken der maximalen Kraft. Sofern das Schwingungssystem nicht überlastet wird (Resonanzkatastrophe) und die Dämpfung nicht exakt Null ist, geht die Schwingung allmählich in eine harmonische Schwingung mit konstanten Werten für Amplitude, Frequenz und Phasenverschiebung gegenüber der Erregerschwingung über. Dies Verhalten zeigt sich vollkommen übereinstimmend für jede Art von harmonischem Oszillator. In der Realität sind zwar die meisten Systeme, die Schwingungen ausführen können nur näherungsweise harmonisch (Beispiele s.o. in der Einleitung), doch zeigen sie alle die Resonanzphänomene in zumindest ähnlicher Weise (siehe Anharmonischer Oszillator).

Bewegungsgleichung

→ Hauptartikel: Erzwungene Schwingung

Der homogenen Differentialgleichung für einen linear gedämpften harmonischen Oszillator wird eine externe Kraft F(t) hinzugefügt. Die Gleichung wird dadurch inhomogen.

m\ddot{x}+c\dot{x}+k x=F(t)

Darin bezeichnet x(t) die momentane Auslenkung aus der Ruhelage, m die Masse des Körpers, k die Federkonstante für die rücktreibende Kraft, und c die Dämpfungskonstante (s. Abb.). Ohne äußere Kraft und Dämpfung würde das System mit seiner Eigenkreisfrequenz \omega_0 \mathord =\sqrt{\frac{k}{m}} frei schwingen. Mit Dämpfung \mathord c>0 kann es freie gedämpfte Schwingungen mit der Kreisfrequenz \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} ausführen, deren Amplitude proportional zu e^{-\gamma t} abnimmt, worin \gamma = c/(2m) ist. Eine statische konstante Kraft F(t) = F_0 hätte eine Verschiebung der Ruhelage um A_{stat}= F_0/k zur Folge.

Wenn die Kraft sinusförmig mit der Amplitude F_0 und der Kreisfrequenz \omega verläuft, lässt sie sich als der Imaginärteil von

F(t)=F_0 e^{\mathrm i\omega t}

auffassen.

Stationäre Lösung: Eingeschwungener Zustand

Für den eingeschwungenen Zustand mit konstanter Amplitude A genügt der komplexe Exponentialansatz \tilde x(t)= A e^{\lambda t}, aus dem sich A und \lambda bestimmen. Es folgt

\tilde x(t)=\frac{\frac{F_0}{m}}{-\omega^2+2\mathrm i\gamma \omega+ \omega_0^2}\,e^{\mathrm i \omega t }

Der Imaginärteil von \tilde x(t) beschreibt eine harmonische Schwingung

X(t)= A \sin (\omega t - \varphi)

um die Ruhelage X=0. Sie hat die Kreisfrequenz \omega, die (reelle) Amplitude

A=\frac{\frac{F_0}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\gamma\omega)^2}} \equiv \frac{1}{\sqrt{(1-\eta^2)^2+(2\eta D)^2}}\cdot A_{stat}

und die konstante Phasenverschiebung gegenüber der erregenden Kraft

\varphi=\arctan\left(\frac{2\omega\gamma}{\omega_0^2-\omega^2}\right ) \equiv \arctan\left(\frac{2\eta D}{1-\eta^2} \right )

Darin ist:

  • A_{stat}=\tfrac{F_0}{k} : die Auslenkung bei statischem Einwirken der Kraft F_0,
  • \eta =\frac{ \omega}{\omega_0}: die auf die Eigenfrequenz bezogene Erregerfrequenz,
  • D =\frac{ \gamma}{\omega_0}: die auf \omega_0 bezogene, dimensionslose Lehrsche Dämpfung, die oft auch durch den Gütefaktor Q = \tfrac{1}{2D} ausgedrückt wird. Der Gütefaktor hat die Bedeutung, dass er die Zahl der Schwingungen angibt, nach denen (in Abwesenheit einer äußeren Kraft) die Amplitude auf e^{-\pi} \!\approx 4\% des Anfangswerts abgeklungen ist (nach \tfrac{Q}{\pi} Schwingungen auf \tfrac{1}{e}\!\mathord \approx 37\% ).

Die Abhängigkeit der Amplitude A von der Erregerfrequenz \omega wird auch als Amplitudengang des Systems bezeichnet.

Amplitudengang des harmonischen Oszillators für verschieden starke Dämpfung

Amplitudenresonanz

Die Resonanzkurve ist der Graph des Amplitudengangs. Nebenstehende Abbildung zeigt das dimensionslose Amplitudenverhältnis \tfrac{A(\omega)}{A_{stat}} für typische Wertebereiche der Parameter für Erregerfrequenz und Dämpfung. Bei genügend schwacher Dämpfung, D < \sqrt{1/2} , zeigt sich ein Maximum, die Amplitudenresonanz. Es liegt bei der Resonanzfrequenz \eta_{res}=\sqrt{1-2\,D^2} bzw. \omega_{res}=\eta_{res}\, \omega_0=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2} und zeigt für die Resonanzamplitude den Wert

A_{res}=\frac{A_{stat}}{ 2D \sqrt{1-D^2}}.

Das Verhältnis A_{res}/A_{stat} ist die Resonanzüberhöhung. Die Resonanzfrequenz liegt unter der Eigenkreisfrequenz \omega_0 des ungedämpften Schwingungssystems und auch unter der Kreisfrequenz \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}, mit der die freie gedämpfte Schwingung des Systems abläuft.

Bei geringer (aber nicht verschwindender) Dämpfung 0 < D \ll \tfrac12 ist die Resonanz ein scharfes Maximum, das fast genau bei der Eigenkreisfrequenz liegt. Die die Resonanzamplitude A_{res} \approx \tfrac{1}{2D} A_{stat} ist dann umgekehrt proportional zu D. Die Amplitude kann also im eingeschwungenen Zustand ein Vielfaches der statischen Auslenkung A_{stat} erreichen. Während des Einschwingvorgangs aus der Ruhelage heraus kann sie sogar zeitweilig bis auf fast 2 A_{res} ansteigen.

Bei starker Dämpfung D \ge \sqrt{1/2} hingegen gibt es keine Resonanz mit erhöhter Amplitude. Die maximale Amplitude der eingeschwungenen Schwingung liegt mit dem Wert A_{stat} fest beim statischen Fall \omega =0.

Phasenresonanz und Energiefluss

Bei \omega = \omega_0 eilt die eingeschwungene Schwingung x(t) der erregenden Kraft um genau 1/4 Periode hinterher (Phasengang -90°, auch als Phasenresonanz bezeichnet). Daher sind Geschwindigkeit \dot x(t) und Kraft F(t) genau in Phase, sodass die Kraft stets in Richtung der momentanen Geschwindigkeit wirkt. Die Energie fließt dann ständig in das System hinein, während sie bei anderen Frequenzen zweimal pro Periode die Richtung wechselt, weil die Phasendifferenz bei \omega < \omega_0 kleiner als 90° und bei höherer Frequenz größer als 90° (und bis 180°) ist. Die kinetische Energie des eingeschwungenen Zustands erreicht in der Phasenresonanz ihr Maximum. Sie ist dann so groß wie der gesamte Energieeintrag während der letzten Q/(2\pi) Schwingungen.

Energieresonanz

Die in einer Schwingung mit Amplitude A gespeicherte potentielle Energie ist E_{pot} = \tfrac{1}{2}\!k A^2 . Die entsprechende Resonanzkurve ist durch das Quadrat des Amplitudengangs gegeben.

Die in einer Schwingung mit Amplitude A gespeicherte kinetische Energie ist E_{kin} = \tfrac12 m \omega^2 A^2 . Diese Funktion hat ihr Maximum genau bei \omega_0.

Bei der für die Optik wichtigen Anwendung auf die Emission und Absorption elektromagnetischer Wellen durch schwingende Dipole ist die Strahlungsleistung P proportional zu \tfrac12 \omega^4 A^2 . Das Maximum dieser Funktion liegt etwas oberhalb \omega_0.

Bei scharfen Resonanzen, also geringer Dämpfung, werden die Unterschiede dieser drei Resonanzfrequenzen meist vernachlässigt und für den Bereich der Resonanz eine um die Eigenfrequenz \omega_0 symmetrische Näherungsformel benutzt, die als Lorentzkurve bezeichnet wird:

A^2 \approx \frac{4D^2}{(\eta - 1)^2 + 4D^2} A^2_{res} \equiv \frac{4\gamma^2 \omega_0^2}{(\omega - \omega_0)^2 + 4\gamma^2 \omega_0^2} A^2_{res}.

Diese Formel zeigt neben der Resonanz auch den für die erzwungene Schwingung charakteristischen langen Ausläufer und ist daher auch für hohe Frequenzen \eta \gg 1 bzw. \omega \gg \omega_0 brauchbar.

Die im Schwingungssystem gespeicherte Energie stammt von der Beschleunigungsarbeit durch die anregende Kraft. Die Schwingungsenergie wird erhöht, wenn die Kraft in Richtung der Geschwindigkeit wirkt. Andernfalls entzieht die Kraft dem System Energie, wirkt also bremsend. Im eingeschwungenen Zustand gleicht der Energieeintrag gerade den Energieverlust aufgrund der Dämpfung aus.

Halbwertsbreite, Gütefaktor

→ Hauptartikel: Halbwertsbreite und Gütefaktor

Als Halbwertsbreite \Delta f_{FW\!H\!M} (engl. full width at half maximum) der Resonanz wird der Bereich von Frequenzen f = \omega / 2 \pi um die Resonanzfrequenz f_{res} = \omega_0 / 2 \pi bezeichnet, in dem für die Amplitude gilt: A^2 \ge \tfrac{1}{2}A^2_{res}. Im interessierenden Bereich geringer Dämpfung liegen nach der Näherungsformel für die Lorentzkurve diese Grenzen bei \eta = 1 \pm D . Umgerechnet auf die Frequenzachse ergibt sich die Halbwertsbreite

\Delta f_{FW\!H\!M} = 2D \frac{\omega_0}{2\pi} \equiv \frac{\gamma}{\pi} .

Die Schärfe der Resonanz kann mit der Dämpfung oder mit dem Gütefaktor

\frac{\Delta f_{FW\!H\!M}}{f_{res}} = 2D = \frac{1}{Q}

angegeben werden. Nach der oben angegebenen Bedeutung des Gütefaktors kann man einen Zeitraum von Q Perioden der Eigenfrequenz als charakteristisch für das Abklingen einer gedämpften Eigenschwingung ansehen, also auch charakteristisch für die Dauer des Einschwingvorgangs oder im übertragenen Sinn für das „Gedächtnis des Oszillators“. Analysiert man eine Schwingung mit Frequenz f_0 mithilfe einer Reihe von Resonatoren zu verschiedenen Resonanzfrequenzen f , dann erfordert die Bestimmung der Resonanzamplitude also die Zeit \Delta t = Q f_0 und liefert die Resonanzfrequenz mit der Genauigkeit \Delta f_{FW\!H\!M} . Unterscheiden sich zwei Oszillatoren in der Frequenz um \Delta f_{FW\!H\!M} , dann macht in diesem Zeitraum \Delta t der schnellere gerade eine Schwingung mehr als der langsamere. Es folgt \Delta t \cdot \Delta f_{FW\!H\!M} = 1 : je genauer die Frequenz einer Schwingung bestimmt werden soll, desto länger muss man sie auf einen Resonator einwirken lassen. Das ist eine frühe Form der Frequenz-Zeit-Unschärferelation.

Resonanz bei Dämpfung Null

Verschwindende Dämpfung ist zwar ein nur theoretisch erreichbarer Grenzfall, reale Systeme mit sehr geringer Dämpfung kommen ihm aber nahe, wenn man sie für einen nicht zu langen Zeitraum (t < 1/\gamma ) betrachtet. Das entspricht einer möglicherweise großen Anzahl \omega_0/(2 \pi \gamma) von Schwingungen. Grundsätzlich ist zu bemerken, dass es im dämpfungsfreien Fall keinen Einschwingvorgang gibt, der unabhängig von den Anfangsbedingungen zu einer bestimmten stationären Schwingung hinführt. Eine eventuell mit angeregte Eigenschwingung klingt hier nämlich nicht ab, sondern bleibt unvermindert präsent. Bei resonanter Anregung, \omega=\omega_0 , gibt es schon mathematisch keine stationäre Lösung der Bewegungsgleichung, vielmehr variiert die Amplitude linear mit der Zeit. Ausgehend vom Zustand ruhend in der Ruhelage steigt die Amplitude z. B. proportional zur verstrichenen Zeit an:

A(t)=\frac {F_0} {2\,m\,\omega_0}\cdot t

Theoretisch kommt es hier also auf jeden Fall zur Resonanzkatastrophe. Dies ist praktisch nur durch eine anderweitig bewirkte Begrenzung der Amplituden zu vermeiden, allgemein gesprochen also durch eine Änderung das Kraftgesetzes (siehe Anharmonischer Oszillator).

Außerhalb der exakten Resonanzfrequenz hingegen existiert zu geeigneten Anfangsbedingungen eine stationäre Schwingung. Sie ergibt sich aus den obigen Gleichungen für D =0 \text{ bzw. }\gamma =0. Das Amplitudenverhältnis A(\omega)/A_{stat} ist bei jeder Anregungsfrequenz größer als im Fall mit Dämpfung. Bei Resonanz \omega=\omega_0 divergiert die Formel für die Amplitude und es gibt keinen Zustand der stationären Schwingung. Die Phasenverzögerung ist \varphi = 0^{\circ} für Frequenzen unterhalb der Resonanz, \varphi = 180^{\circ} oberhalb, wie aus der obigen Formel durch den Grenzübergang \gamma \rightarrow 0 hervorgeht. (Für weitere Formeln und Erläuterungen siehe Erzwungene Schwingung#Grenzfall verschwindender Dämpfung.)

Siehe auch

Einzelnachweise

  1. Hochspringen ↑ Andrea Frova, Mariapiera Marenzana: Thus spoke Galileo. The great scientist's ideas and their relevance to the present day. Oxford University Press, Oxford u. a. 2006, ISBN 0-19-856625-5, S. 133–137.
  2. Hochspringen ↑ Stillman Drake: Essays on Galileo and the history and philosophy of science. Band 1. Selected and introduced by Noel M. Swerdlow and Trevor H. Levere. University of Toronto Press, Toronto u. a. 1999, ISBN 0-8020-7585-1, S. 41–42.
  3. Hochspringen ↑ Messung der akustischen Flussimpedanz (englisch; PDF; 856 kB)
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